La filtration de Krull de la catégorie U et la cohomologie des espaces

Cet article démontre une variante d’une conjecture due à N. Kuhn. Cette conjecture s’exprime à l’aide de la filtration de Krull de la catégorie U des modules instables. Notons Un , n ≥ 0, le n-ième terme de cette filtration. La catégorie U est la plus petite sous catégorie épaisse contenant les catégories Un et stable par colimite [7]. La catégorie U0 est celle des modules localement finis, c’est-à-dire limite directe de modules finis. On entend par sous catégorie épaisse une sous-catégorie stable par sousobjet et quotient, et telle que pour toute suite exacte courte, si le premier et le troisième terme sont dans la sous-catégorie, alors le terme central l’est aussi. La conjecture s’énonce comme suit, soit X un espace, alors : • soit H∗X ∈ U0 , • soit H∗X 6∈ Un , pour tout n . Par exemple la cohomologie d’un espace de dimension finie, ou celle de son espace des lacets sont toujours dans U0 . Alors que la cohomologie du classifiant d’un groupe fini, d’ordre divisible par 2 n’est, elle, dans aucune des sous-catégories Un . On démontre cette conjecture, modulo l’hypothèse supplémentaire que tous les quotients de la filtration nilpotente ont un nombre fini de générateurs. Cette condition implique en particulier que la cohomologie est de dimension finie en chaque degré. Mais elle est plus forte, et assure les conditions d’application du théorème de Lannes sur la cohomologie des espaces fonctionnels. Ce théorème est nécessaire pour appliquer la réduction de Kuhn [3]. Par commodité on ne considèrera dans cet article que le cas p = 2. AMS Classification 55S10; 57S35